Przykładowe zadania na kolokwium

Zad.1
Zmierzono 10 wielkości ponumerowanych od 1 do 10 i uzyskano następujące wyniki:

a) zmień skalę interwałową na skalę porządkową od największego pomiaru w taki sposób, by każdemu numerowi pomiaru przypisać odpowiednią rangę.
b) zaproponuj zmianę skali na nominalną z trzema przedziałami wartości
Numer liczby(skala interwałowa)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dane wielkości
21,2
22,3
25,8
23,1
24,2
24,5
21,2
24,2
25,0
24,2
Skala porządkowa(odpowiedż na podpunkt a)
9,5
8
1
7
5
3
9,5
5
2
5
ad.b
wielkości: małe 21-22,5
średnie 22,5-24,75
duże 24,75-26
Zad.2
Dla następujących liczb stanowiących jedną próbę: 3,1,5,5,1(można te elementy zapisać tak X1=3 X2=1 itd.) podaj:
a) liczbę elementów N tego szeregu statystycznego
N=5
b) sumę Σx (należy dodać wszystkiego elemeny szeregu)
Σx=15
c) średnią arytmetyczną
X(z taką poziomą kreską nad)=Σx/N=15/5=3
d) mediana (trzeba ułożyc cyferki od najmniejszej do największej i ta w środku to mediana)
1,1,3,5,5 Mmed=3
e) wariancja
najpierw trzeba obliczyć odchylenie każdej liczby
xi=Xi-X(ten z tą kreską poziomą, średnia arytmetyczna)
x1=3-3=0 itd.
Pózniej sumę kwadratów odchyleń
Σx2i=16
wariancja
s2=Σx2/(N-1)
s2=16/4=4
f) odchylenie standardowe
s=2 (pierwiastek z wariancji)
g) suma kwadratów
Σx2=9+1+1+25+25=61
h) kwadrat sumy
(Σx)2=225
i)współczynnik zmienności
v=s/X(ten z poziomą kreską tj. Średnia arytmetyczna)
v=2/3
j) dwumodalny
zad.3
Oblicz średnią z 3 średnich, z których Xśr=2,4 jest oparta na 10 pomiarach Xśr=0,5 na 20 pomiarach Xśr=3,5 na 50 pomiarach
Xw(z poziomą kreską)=Σwi*Xi(pozioma kreska)/ Σwi
Xw(z poziomą kreską)=2,4*10+ 0,5*20+3,5*50/10+20+50=2,6125

Zad.4
Załózmy, że długośc kości piszczelowej pewnego gatunku zwierząt wynosi średnio 18 cm z odchyleniem standardowym 2 cm, zaś rozkład tych długości jest normalny:
Dane:
X(pozioma kreska)=18 cm s=2cm
a) oszacuj prawdopodobieństwo, że losowo wybrana kość ma:
- długość mniejszą niż 15 cm
X1=15 cm
Zi=Xi-X(kreska pozioma)/s
Z1=X1-X(kreska pozioma)/s=15-18/2= -1,5
patrzymy do magicznej Tabeli B, ponieważ musimy wiedzieć jaka jest powierzchnia pod krzywą rozkładu dla wartości 1,5 (plus czy minus to nie ważne)
0,4332
musimy odjąć od połowy
0,5- 0,4332=0,0668(to jest prawdopodobieństwo)
- długość większą niż 19 cm (analogicznie)
b) Jak często zmierzona kość zawiera się w przedziale 19-22cm?
19-22cm
X1=19cm X2=22 cm
obliczmy Z
Z1=0,5 0,1915
Z2=2 0,4773
0,4773- 0,1915=0,2858
c)Aby wybrać 2% najdłuższych kości, od jakiej długości począwszy należy je wybierać?
Znaczy to, że pod krzywą rozkładu n ajednej połowie nie będzie należało 48%
Robimy odwrotnie niż normalnie czyli w tabeli B szukma ywartości Z dla powierchni 0,48
Z=2,06
Przekszałcamy ten wzór na Z
X= sZ+ X(pozioma kreska)
X=22,12 (od tej wartości zaczynamy wybierać 2% najdłuższych kości
d) aby wybrać 35% kości najbardziej zbliżonych do średniej, to w jakim zakresie długości powinniśmy je wybierać
po jedenj stronie krzywej rozkładu będzie aby 17,5% kości (dzielimy 35% na pół)
0,175 szukamy Z w Tabeli
Z=0,46
obliczamy X dla wartości Z= -0,46 i do wartości Z= +0,46
X= sZ+ X(pozioma kreska)
wynik 17,08-18,92

Zad.5
Dysponujemy próbką 20 pomiarów pewnych wielkości o średniej długości równej 154,3 mm i odchyleniu standardowym s=13,3 mm.
Określ 95% przedział ufności dla tej próby, zakładając, że owe 20 pomiarów stanowi niezależną próbę losową z populacji generalnej o rozkładzie normalnym.
X(pozioma kreska)= 154,3 mm
s=13,3
N=20
obliczamy błąd standardowy:
sX(pozioma kreska)=s/N1/2(pierwiastek z N)
sX(pozioma kreska)=2,974
Liczba stopni swobody(df)
df=N-1=20-1=19
Aby obliczyć 95% poziom ufności stosujemy poziom istrności 0,05 dla testu dwustonnego i df=19
wartośc krytyczna t=1,729
Dolna granica przedziału ufności
X(pozioma kreska)- sX(pozioma kreska)t
Górna granica przedziału ufności
X(pozioma kreska)+ sX(pozioma kreska)t
Zad.6Na 10 stanowiskachzbadano wartość pewnego parametru, a następnie badania te powtórzono po poddaniu działania pewnego czynnika. Uzyskano następujące wyniki
I
II
d(różnica)
d2(kwadrat różnicy)
12
11
1
1
34
31
3
9
18
19
-1
1
22
27
-5
25
47
44
3
9
8
10
-2
4
19
10
9
81
44
40
4
16
56
60
-4
16
10
7
3
9

Σd=11
Σd2=171
Posługując się rozkładem t sprawdzić czy wpływ czynnika ma wpływ na zmiany wielkości mierzonego parametru. Podać:
a) hipotez zerowa
Hipoteza: nie ma wpływu
b) statystykę obliczoną do porównania z tabelą
N=10
średnia różnica
d(pozioma kreska)=Σd/N=11/10=1,1
Suma kwadratów odchyleń
Σx2= Σd2 - (Σd)2 /N=171-112/10=158,9
Wariancja
s2=Σx2/(N-1)=158,9/9=17,66
odchylenie standardowe
s=4,2

błąd standardowy
sX(pozioma kreska)=s/N1/2(pierwiastek z N)= 4,2 /101/2=1,33
statystyka t
t=| d(pozioma kreska)/ sX(pozioma kreska)|=|1,1/1,33|=0,83
c) liczbę stopni swobody
df=N-1= 9
d) wartośc krytyczna odczytana z tabeli
t0,05=2,262
e) decyzję
ponieważ 0,62<2,262 to hipoteza zerowa jest prawdziwa
f) zakres błedu I rodzaju
P>0,2

Zad.7
Na dwóch łąkach wybrano 19 niewielkich terenów o równej powierzchni (N1=9 na łąkach podmokłych i N2= 10 na łąkach suchych) i policzono na nich liczbę gniazd pewnego gatunku ptaka. Otrzymano następujące wyniki:
Zakładając równe wariancje między obiema grupami sprawdzić testem t- Studenta czy istnieją różnice między średnimi w liczbie gniazd ptaków między dwoma typami łąk
N1={48,57,31,53,51,64,44,61,60}
średnia arytmetyczna
X(pozioma kreska)=52,11
Kwadrat odchyleń
Σx2=Σ(x1-X(pozioma kreska))2=836,89
N2={37,30,45,52,22,35,27.40,47,32}
X(pozioma kreska)=36,7
Σx2=800,1
Błąd standardowy
sx=[(Σx21+Σx22/-2)*( N1+N2/ N1*N2)]=4,5087
Różnica między średnimi
15,41
statystyka t
t=(x1-x2)/sx=15,41/4,5087=3,418
liczba stopni swobody df
df=17
tabela C
2,110
3,418> 2,110 Oznacza to, że na łące musi być więcej ptaków

Zad.8
Zadanie 6 z bieżacej listy wykonać nieparametrycznym testem Wilcoxona dla par wiązanych. Podać symbol obliczonej statystyki do porównania z tabeła oraz jesj wartość, wartość krytyczną odczytaną z tabeli, decyzję oraz zakres błędu I rodzaju

I
II
d(różnica)
Skala porządkowa
Znak
12
11
1
1,5
+
34
31
3
4,5
+
18
19
-1
1,5
-
22
27
-5
9
-
47
44
3
5
+
8
10
-2
3
-
19
10
9
10
+
44
40
4
7,5
+
56
60
-4
7,5
-
10
7
3
4,5
+

Σd=11
Σd2=171

Hipoteza brak różnic
a= ΣY-ΣX/N=0,2106
Zad.9
W pewnym lesie dołowiono w sposób losowy i nie zależny 550 zajęcy i stwierdzono, że jest wsród nich 266 samców i 284 samice. Sprawdź 2 róznymi testami, czy stosunek liczbowy płci różni się od zakładanego 1:1. Podać nazwy obu testów, wartości obliczonych statystyk do porównańz tablicami, decyzję i prawdopodobieństwo z jakim można przyjąć hipotezę zerową.
N=550
S-samce
D-samice
S=266
D=284
Hipoteza P=0,5
I Test dla proporcji
średnia
μ=0,5
odchylenie standardowe
σ =pierwiastek{[p*(1-q)]/N}
σ = pierwistek{[0,5*(1-0,5)]/550}=0,0213
Obliczamy prawdopodobieństwo spotkania samca z tego co złapaliśmy
P= 266/550=0,48

Z=(P-μ)/σ = (0,48- 0,5)/0,0213= 0,938
znowu tabela B 0,3264
Obliczmy P)
P= 2 *(0,5-0,3264)=0,4374
II test hi kwadrat ( hi to takie zjebane x)
x2=Σ[(f0-fe)2/fe=0,59
f0- wartość otrzymana
fe-wartośc oczekiwana

Samce
Samice
F0 (nie może być mniejsza od 5)
266
284
fe
275
275
f0-fe
-9
9
(f0-fe)2
81
81
(f0-fe)2/fe
0,295
0,295
Liczby stopni swobody
df=1
poziom istotności 0,05 dla tesu dwustronnego i df=1
x2=3,841

nasz wynik
x2=0,59
3,841>0,59 przyjmujemy hipotezę zerową
0,3<P<0,5
Zad.1
Przeanalizowano 6 różnych akwenów i odnotowano w nich następujące dane dotyczące liczby gatunków ryb(X) oraz liczby gatunków roślin dennych (Y) tworzące dwucechowy szereg statystyczny
Obliczyć współczynniki: regresji, osi głównej zredukowanej oraz korelacji Pearsona dla tych danych.
Nr akwenu
X
Y
X*Y
X2
Y2
1
4
3
12
16
9
2
5
8
40
25
64
3
5
4
20
25
16
4
7
7
49
49
49
5
8
5
40
64
25
6
10
8
80
100
64

suma
244
279
227
N=6
ΣX=39
ΣY=35
Σx2=ΣX2- (ΣX)2/N=25,5
= ΣY2- (ΣY)2/N=22,5
Σxy=ΣXY- (ΣX)(ΣY)/N=13,5
Współczynnik regresji liniowej
b=Σxy/Σx2=0,5294
a=(ΣY)- b (ΣX)/N=1,566
gdzie y=bx +a (chyba)
Współczynnik korelacji Pearsona
n=Σxy/pierwiastek(Σx2-Σy2)= 0,7091
Współczynnik v
v=pierwiastek(Σy2/Σx2)=0,9476

zadania robione na wyczucie tak w ogóle i nie wiadomo czy wszystko jest dobrze.

i wrzuciłem to na maila roku czy chuj wie jak to się nazywa